Геометрия Фалеса Милетского. Попытка реконструкции

Во всех исследованиях и источниках по истории античной математики Фалес Милетский (625-547 до Р.Х.) упоминается как первый древнегреческий математик и философ. Относительно геометрических открытий Фалеса все источники единодушны. Думается, что более простой признак равенства треугольников, по двум сторонам и углу между ними, Фалесу тоже был известен. Известно также, что Фалес посещал Египет, где определил высоту одной из пирамид. Утверждается, кроме того, что Фалес обучался геометрии у египетских жрецов, что, на наш взгляд, весьма сомнительно (точнее сказать, следует полностью отвергнуть такую возможность, подробнее об этом будет сказано далее).
Автор великолепного исследования известный математик Б.Л. Ван дер Варден выдвигает свою версию творчества Фалеса, с которой, к сожалению, согласиться не представляется возможным. По Б.Л. Ван дер Вардену получается, что Фалес в деталях ознакомился не только с египетскими, но и с вавилонскими математическими знаниями. Его не устраивало, что эти знания состоят, по существу, из нагромождения необоснованных фактов, а также отдельные факты противоречат друг. Фалес решил во всем этом разобраться и стал строить геометрию в виде дедуктивной системы, двигаясь от простых фактов к сложным. На наш взгляд, эта гипотеза весьма уязвима. Выходит, что Фалес, взявшись за дедуктивное построение геометрии, бросил это занятие, едва получив самые простые факты (заметим, Фалес прожил 80 лет и времени у него было достаточно). Не понятно, в связи с этим, в чем причина огромной популярности Фалеса у образованной античной публики.

Позволим себе высказать некоторые соображения на этот счет. Популярность Фалесу снискали не открытые им факты, касающиеся треугольников и кругов, а проведенные им эффектные определения длин и расстояний, не доступных непосредственному измерению. Как уже отмечалось выше, Фалес определил высоту одной из египетских пирамид. Кроме этого, он определял расстояние до корабля в море, возможно, какие-то другие величины, например, ширину реки. Открытые Фалесом геометрические факты составляют необходимый набор для решения этих задач.
Начнем с рассмотрения наиболее сложной задачи из этого перечня: задачи определения высоты пирамиды. Заметим, то, что Фалес взялся за это предприятие, говорит о том, что он не имел непосредственного общения с жрецами (по крайней мере, доверительного). Трудно представить, что жрецы не знали какова высота этой пирамиды. Маловероятно также, что они поставили Фалесу эту задачу в качестве теста на сообразительность.
Приведем цитату из, которая воспринимается как курьез. Речь идет о методе, которым Фалес измерил высоту пирамиды: «Этот метод до удивления прост. Вначале Фалес с помощью обычной палки установил час, когда тень и высота тела равны между собой, а затем в тот же час он измерил тень пирамиды, которая и была ее высотой». На самом деле не все так просто, как кажется авторам. Пирамида — не палка и имеет массивное квадратное основание. А для того, чтобы непосредственно измерить длину тени, надо добраться до центра этого квадрата (что сделать не возможно). Фалес мог только отметить точку, куда падает тень от вершины пирамиды. Заметим, что необходимым условием существования такой точки является то, чтобы высота пирамиды была бы больше половины стороны основания (иначе в назначенный час вся боковая поверхность пирамиды будет освещена). Самая высокая из пирамид этому условию удовлетворяет. Когда точка, в которую попадает тень вершины (пусть это — точка А), найдена, то высота пирамиды может быть найдена в результате выполнения следующей процедуры. Найдем точку В — ближайшую к А из середин сторон основания, затем найдем точку С так, чтобы ВС было перпендикулярно к этой стороне и АС было перпендикулярно ВС. Фалес мог это сделать, опираясь на известные ему геометрические факты. Восставить из точки. В перпендикуляр к стороне пирамиды можно используя свойства равнобедренных треугольников.
Выберем на стороне пирамиды по разные стороны от В две точки Bt и В2, так, чтобы BBj=BB2. Возьмем веревку длиной раза в три (приблизительно) больше длины BjB2. Перегнув веревку пополам, зафиксируем ее середину. Закрепим концы веревки в точках Bj и В 2 и натянем ее за середину до упора. Середина веревки ляжет в некоторую точку Cj, при этом BCj будет перпендикулярно стороне пирамиды (на которой лежит точка В). Теперь на продолжении отрезка BCt надо найти точку С, о которой сказано выше. Это можно сделать следующим образом. Найдем точку At — середину АВ и проведем окружность с центром в Aj радиуса А1В. Пересечение этой окружности с продолжением BCt и есть точка С. Обозначим О — недоступную нам точку — центр основания пирамиды. Тогда искомая длина тени, она же высота пирамиды, это — длина отрезка OA, который является гипотенузой прямоугольного треугольника ОАС. Катет АС доступен, его длину можно измерить непосредственно. Длина же катета ОС равна сумме длины отрезка СВ и половины длины стороны основания пирамиды. Итак, по известным катетам надо определить гипотенузу. Теорему Пифагора Фалес не знал (иначе эта теорема называлась бы теоремой Фалеса). Видимо, он просто воспроизвел на свободной площадке копию треугольника ОАС.

Сформулируем свою точку зрения на математическое творчество Фалеса. Фалес располагал ограниченным набором элементарных (по сравнению с полученными позднее другими греческими учеными) геометрических фактов. При этом основной задачей Фалеса было определение длин, недоступных непосредственному измерению. Факты (теоремы) он обосновывал с помощью аргументации, которую можно отнести к разряду мысленных экспериментов. Например, он «доказывал» равенство углов при основании равнобедренного треугольника примерно так: если разрезать треугольник по биссектрисе угла при вершине , то получим два равных треугольника. Фалес был вынужден при-
бегать к теоретическим обоснованиям, так как, имея дело с недоступными расстояниями, он не мог проверить свои утверждения опытным путем. Далее, Фалес не придавал совокупности геометрических фактов статус отдельной научной дисциплины (выражаясь современным языком). Заметим в связи с этим, что его ученик Анаксимандр и ученик Анаксимандра Анаксимен вопросов геометрии не касались. Хотя аргументация Фалеса не может рассматриваться в качестве полноценного доказательства теорем, как у Евклида, но, безусловно, дедуктивное построение геометрии начинается именно с него.