Выравнивание по способу наименьших квадратов

Предлагаемый способ один из самых эффективных. Суть его следующая: из бесконечного числа линий, которые могли бы быть теоретически проведены между точками, изображающими исходный ряд, выбирается только одна прямая, которая имела бы наименьшую сумму квадратов отклонений исходных (эмпирических) точек от этой теоретической прямой. Выравнивание проводят по уравнению прямой y = a + bt, или по уравнению параболы второго порядка y = a + bt + ct². В основе выбора параболы для выравнивания лежит предположение о том, что не скорость динамики, а ускорение является постоянной величиной. В качестве постоянных величин выступают a, b, c порядкового номера какого-либо периода – t. После расчета постоянных величин a и b известным способом получаем следующее уравнение прямой, по которому вычисляем ряд выравнивания у¹ (табл. 10.4):

у¹ = 18,748 + 1,8382 t; R² = 0,4047.

Показателем правильности выбора того или иного уравнения служит коэффициент R².Чем ближе его значение к единице, тем больше соответствие фактического и выравненного распределений.

Современные программы статистической обработки позволяют получать различные теоретические кривые в автоматическом режиме. По результатам можно проводить экстраполяцию или интерполяцию рядов.

 

Таблица 10.4 Выравнивание динамического ряда по способу наименьших квадратов

Номер года	Фактический уровень	Отклонение от центра	Расчетные параметры уравнений	Произведение yd	Ряд выравнивания
t	y	d	d2	yd	y1
1	16,5	–7	49	–115,5	20,6
2	14,3	–6	36	–85,8	22,4
3	44,0	–5	25	–220,0	24.3
4	35,6	–4	16	–142,4	26,1
5	30,4	–3	9	–91,2	27,9
6	32,4	–2	4	–64,8	29,8
7	22,5	–1	1	–22,5	31,6
8	28,8	0	0	0	33,5
9	15,2	1	1	15,2	35,3
10	42,0	2	4	84,0	37,1
11	26,6	3	9	79,8	39,0
12	42,6	4	16	170,4	40,8
13	51,3	5	25	256.5	42,6
14	46,2	6	36	277,2	44,5
15	53,4	7	49	373,8	46,3
Итого	501,8		280,0	514,7

Пример. Дать прогноз на следующий шестнадцатый год (см. табл. 10.4) c использованием уравнения регрессии:У₁₆ = 18,768 + 1,832 · 16= 48,06.

Достоверность статистического прогноза зависит от степени интерации взаимосвязи явлений, которая обеспечивает сохранение механизма формирования явления и инерционность характера динамики (темп, направление, устойчивость) на протяжении длительного времени. Экстраполяция на очень большой период времени вперед или назад резко снижает точность прогноза при R² меньше 0,6.