Двухфакторный дисперсионный анализ 

Если в дисперсионный анализ включают несколько факторов, влияющих на результативный признак, то они должны быть независимыми друг от друга. Рассмотрим обработку данных с двумя факторами, каждый из которых делится на две группы. Для этого составляем комбинационный дисперсионный комплекс (табл. 2.4). Каждый фактор характеризуется тремя наблюдениями (повторностями). Аналогичную схему можно использовать для двухфакторного анализа с большим числом групп и повторностей в каждом факторе.

Двухфакторный дисперсионный анализ можно представить в виде равенства:

Θ = Θ₁ + Θ₂ + Θ₃+ Θ₄+ Θ₅,                                (2.4)

где Θ – общая сумма квадратов; Θ₁, Θ₂ – сумма квадратов отклонений для фактора I и II соответственно; Θ₃ – сумма квадратов отклонений, возникающих при взаимодействии факторов I и II; Θ₄ – сумма квадратов отклонений по повторностям; Θ₅ – остаточная сумма квадратов отклонений неучтенных факторов.

Следует определить влияние метеорологических условий (фактор I) и мелиорации (фактор II) на урожай биомассы трав в агроландшафте.

При обработке данных исходной информации порядок расчета не отличается от описанного выше алгоритма однофакторного дисперсионного комплекса. Дальнейшие расчеты проводятся в следующем порядке. Узнать погоду на Кипре в июне  вы сможете на сайте beento.ru

Сумма квадратов отклонений по фактору I вычисляется по формуле, где п_х – число групп фактора I (п_х = 2); k_х – число вариант в каждой отдельной сумме (k_х = 6).

Сумма квадратов отклонений по фактору II вычисляется аналогично определению суммы квадратов отклонений по фактору I.

Подставляем данные в формулу (2.5):

Θ₃ = [891 – (59)² : 4] : 3 – 2,08 – 0,75 = 4,08

Сумма квадратов отклонений по повторностям Θ₄ определяется по формуле (2.6) путем подстановки конкретных данных задачи, где п_х,у – число сумм по повторностям (по 3); k_х,у – число слагаемых в каждой сумме (равное 4); Сумма квадратов сумм исходных данных по повторностям фактора I сверху вниз: [(5+4) + (3+5)]²+ [(6+5) + (4+6)]² + [(5+6) + + (4+6)]² = 1171. Подставив данные в исходную формулу (2.6), получим

Θ₄ = [1171 – (59)² : 3] : 4 = 2,67

Сумму квадратов отклонений по остаточному варьированию определяем из равенства (2.4):

Θ₄ = 10,92 – 2,08 – 0,75 – 4,08 – 2,67 = 1,14.

Затем вычисляем число степеней свободы: для Θ ν = N – 1 = 12 – 1 = =11; для Θ₁ и Θ₂ число степеней свободы равно числу градаций фактора минус единица: ν₁ = n₁ – 1 = 2 – 1 = 1; ν₂ = n₂ – 1 = 2 – 1 = 1; для Θ₃ ν₃ = ν₁ ∙ ν₂ = 1 ∙ 1 = 1; для Θ₄ число степеней свободы равно числу повторно­стей минус единица: ν₄ = 3 – 1 = 2; для Θ₅ этот показатель определяется следующим образом: ν₅ = ν – ν₁ – ν₂ – ν₃ – ν₄ = 11 – 1 – 1 – 1 – 2 = 6.

Показатели дисперсии вычисляются путем деления значений сумм квадратов отклонений на соответствующие значения степеней свободы (например, 10,92:11 = 0,99).

Фактический критерий Фишера определяется путем деления каждой из величин дисперсий на значение остаточной. Критическое значение критерия Фишера находим в прил. 5 на пересечении значений большей и меньшей степеней свободы, которые устанавливаем по величине сравниваемых дисперсий. Например, по фактору II отношение дисперсий равно F_ф = 3,94. В данном случае большей будет дисперсия по фактору II σ²=0,75 с числом степеней свободы ν = 1, для меньшей величины остаточной дисперсии σ² = 0,19 и ν = 6. Пересечение ν =1 и ν = 6 дает величину F_т = 5,99 для Р = 0,95. Если F_ф > F_т, то действие данного фактора признается существенным, при F_ф < F_т – несущественным.

 

Таблица 2.5 Результаты двухфакторного дисперсионного анализа

Исходя из анализа критерия Фишера можно заключить, что влияние исследуемых параметров на биомассу признается существенным в целом по опыту, по фактору I, по взаимодействию факторов и по повторностям, т. е. во всех случаях F_ф > F_т. Действие фактора II на объект не доказано (F_ф < F_т).

Оценку результатов эксперимента можно сделать по критериям НСР и Стьюдента. Для вычисления НСР и t находим ошибку среднего арифметического т_М всего опыта и ошибку разности средних т_d .

НСР = m_d · t_т = 0,25 ∙ 2,45 = 0,61; ν_ост = 6.

По критерию Стьюдента сравниваем средние" арифметические данных по осушенному и неосушенному агроландшафту

По прил. 4 критерия Стьюдента t_т = 2,45 при Р = 0,95 для ν = 6.

Таким образом, на биомассу трав в агроландшафтах не влияет мелиорация (т. е. фактор II), так как t_ф = 2,0 < t_т = 2,45 при Р = 0,95; метеорологические условия (фактор I) достоверно влияют на биомассу трав при Р = =0,95. Выводы, сделанные при использовании критериев Фишера и Стьюдента, совпадают.

В заключение обычно определяют точность опыта, которая равна:

p = (m_M / M_общ ) ∙100 = (0,1258 : 4,9) ∙100 = 2,56 %.

Точность опыта признается достаточно высокой, поскольку p < 3 %.