Двухфакторный дисперсионный анализ

Двухфакторный дисперсионный анализ 

Если в дисперсионный анализ включают несколько факторов, влияющих на результативный признак, то они должны быть независимыми друг от друга. Рассмотрим обработку данных с двумя факторами, каждый из которых делится на две группы. Для этого составляем комбинационный дисперсионный комплекс (табл. 2.4). Каждый фактор характеризуется тремя наблюдениями (повторностями). Аналогичную схему можно использовать для двухфакторного анализа с большим числом групп и повторностей в каждом факторе.

Двухфакторный дисперсионный анализ можно представить в виде равенства:

Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3+ Θ4+ Θ5,                                (2.4)

где Θ – общая сумма квадратов; Θ1, Θ2 – сумма квадратов отклонений для фактора I и II соответственно; Θ3 – сумма квадратов отклонений, возникающих при взаимодействии факторов I и II; Θ4 – сумма квадратов отклонений по повторностям; Θ5 – остаточная сумма квадратов отклонений неучтенных факторов.

Следует определить влияние метеорологических условий (фактор I) и мелиорации (фактор II) на урожай биомассы трав в агроландшафте.

При обработке данных исходной информации порядок расчета не отличается от описанного выше алгоритма однофакторного дисперсионного комплекса. Дальнейшие расчеты проводятся в следующем порядке. Узнать погоду на Кипре в июне  вы сможете на сайте beento.ru

Сумма квадратов отклонений по фактору I вычисляется по формуле, где пх – число групп фактора I (пх = 2); kх – число вариант в каждой отдельной сумме (kх = 6).

Сумма квадратов отклонений по фактору II вычисляется аналогично определению суммы квадратов отклонений по фактору I.

Подставляем данные в формулу (2.5):

Θ3 = [891 – (59)2 : 4] : 3 – 2,08 – 0,75 = 4,08

Сумма квадратов отклонений по повторностям Θ4 определяется по формуле (2.6) путем подстановки конкретных данных задачи, где пх,у – число сумм по повторностям (по 3); kх,у – число слагаемых в каждой сумме (равное 4); Сумма квадратов сумм исходных данных по повторностям фактора I сверху вниз: [(5+4) + (3+5)]2+ [(6+5) + (4+6)]2 + [(5+6) + + (4+6)]2 = 1171. Подставив данные в исходную формулу (2.6), получим

Θ4 = [1171 – (59)2 : 3] : 4 = 2,67

Сумму квадратов отклонений по остаточному варьированию определяем из равенства (2.4):

Θ4 = 10,92 – 2,08 – 0,75 – 4,08 – 2,67 = 1,14.

Затем вычисляем число степеней свободы: для Θ ν = N – 1 = 12 – 1 = =11; для Θ1 и Θ2 число степеней свободы равно числу градаций фактора минус единица: ν1 = n1 – 1 = 2 – 1 = 1; ν2 = n2 – 1 = 2 – 1 = 1; для Θ3 ν3 = ν1 ∙ ν2 = 1 ∙ 1 = 1; для Θ4 число степеней свободы равно числу повторно­стей минус единица: ν4 = 3 – 1 = 2; для Θ5 этот показатель определяется следующим образом: ν5 = ν – ν1 – ν2 – ν3 – ν4 = 11 – 1 – 1 – 1 – 2 = 6.

Показатели дисперсии вычисляются путем деления значений сумм квадратов отклонений на соответствующие значения степеней свободы (например, 10,92:11 = 0,99).

Фактический критерий Фишера определяется путем деления каждой из величин дисперсий на значение остаточной. Критическое значение критерия Фишера находим в прил. 5 на пересечении значений большей и меньшей степеней свободы, которые устанавливаем по величине сравниваемых дисперсий. Например, по фактору II отношение дисперсий равно Fф = 3,94. В данном случае большей будет дисперсия по фактору II σ2=0,75 с числом степеней свободы ν = 1, для меньшей величины остаточной дисперсии σ2 = 0,19 и ν = 6. Пересечение ν =1 и ν = 6 дает величину Fт = 5,99 для Р = 0,95. Если Fф > Fт, то действие данного фактора признается существенным, при Fф < Fт – несущественным.

 

Таблица 2.5 Результаты двухфакторного дисперсионного анализа

Варьирование данных

Сумма квадратов отклонений Θ

Степень свободы ν

Дисперсия σ2

Критерий Фишера

Fф

Fт

Общее по опыту

10,92

11

0,99

5,21

4,31

По фактору I

2,08

1

2,08

10,94

5,99

По фактору II

0,75

1

0,75

3,94

5,99

По взаимодействию факторов I и II

4,08

1

4,08

21,47

5,99

По повторностям

2,67

2

1,33

7,00

5,14

Остаточное

1,14

6

0,19

1,00

Исходя из анализа критерия Фишера можно заключить, что влияние исследуемых параметров на биомассу признается существенным в целом по опыту, по фактору I, по взаимодействию факторов и по повторностям, т. е. во всех случаях Fф > Fт. Действие фактора II на объект не доказано (Fф < Fт).

Оценку результатов эксперимента можно сделать по критериям НСР и Стьюдента. Для вычисления НСР и t находим ошибку среднего арифметического тМ всего опыта и ошибку разности средних тd .

НСР = md · tт = 0,25 ∙ 2,45 = 0,61; νост = 6.

По критерию Стьюдента сравниваем средние" арифметические данных по осушенному и неосушенному агроландшафту

По прил. 4 критерия Стьюдента tт = 2,45 при Р = 0,95 для ν = 6.

Таким образом, на биомассу трав в агроландшафтах не влияет мелиорация (т. е. фактор II), так как tф = 2,0 < tт = 2,45 при Р = 0,95; метеорологические условия (фактор I) достоверно влияют на биомассу трав при Р = =0,95. Выводы, сделанные при использовании критериев Фишера и Стьюдента, совпадают.

В заключение обычно определяют точность опыта, которая равна:

p = (mM / Mобщ ) ∙100 = (0,1258 : 4,9) ∙100 = 2,56 %.

Точность опыта признается достаточно высокой, поскольку p < 3 %.

10 декабря 2012 /
Похожие новости
Нанесение условных топографических знаков на карту
Выравнивание по способу наименьших квадратов
Дисперсионный анализ  
Статистические критерии различия
Оценка статистических параметров по выборочным данным
Комментарии

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Полужирный Наклонный текст Подчеркнутый текст Зачеркнутый текст | Выравнивание по левому краю По центру Выравнивание по правому краю | Вставка смайликов Выбор цвета | Скрытый текст Вставка цитаты Преобразовать выбранный текст из транслитерации в кириллицу Вставка спойлера
Вопрос:
Столица России?
Ответ:*
Введите код: